2026考研高等数学备考：函数

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一、函数

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1. 函数的定义

      设 x 和 y 是两个变量(均在实数集 R 内取值) ,D 是一个给定的非空数集 , 如果对于任意的 x ∈ D,按照某个对应法则 f,变量 y 都有唯 一确定的数值和 x 对应 ,则称变量 y 是变量 x 的函数 ,记 作 y = f(x) . 其 中 D 称 为 函 数 y = f(x) 的定义域 ,x称为自变量,y称为因变量 . 函数值 f(x) 的全体所构成的集 合称为函数 f 的值域 .

2. 邻域与去心邻域

设 δ > 0,称集合{x ||x - a |<δ} 为 a 的δ邻域 ,记为 U(a,δ) ;称集合{x |0<|x - a |< δ} 为 a 的去心 δ 邻域 ,记为 U(a,δ) .

3. 函数的性质

(1) 有界性

      设 y = f(x) 在区间 I上有定义 ,如果存在正数 M ,对于任意的 x ∈ I,恒 有  |f(x) |≤ M ,则称 y = f(x) 在区间 I上有界 ;否则称无界 . 如果存在实数 M1 ,对于任意的 x ∈ I,恒有 f(x) ≤ M1 ,则称 y = f(x) 在区间 I上有上界 ; 如果存在实数 M2 ,对于任意的 x ∈ I,恒有 f(x) ≥ M2 ,则称 y = f(x) 在区 间 I上有下界 .

      y = f(x) 在 I上有界 ⇔ 既有上界又有下界 .

(2) 单调性

      设 y = f(x) 在区间 I上有定义 ,如果对于任意的 x1 ,x2  ∈ I, 当 x1 < x2时 ,恒有 f(x1 ) < f(x2 ) (f(x1 ) > f(x2 ) ) ,则称 y = f(x) 在区间 I上是单 调增加(单调减少) 的 .
(3) 周期性

      设 f(x) 的定义域为 D,如果 存 在 一 个 正 数 T, 使 得 对 于 任 一 x ∈ D 有 (x ±T) ∈ D,且 f(x +T) = f(x) 恒成立 ,则称 f(x) 为周期函数 ,T 称为 f(x) 的周期 . 通常把满足上式的最小正数 T 称为 f(x) 的周期 .

(4) 奇偶性

      设 f(x) 的定义域 D 关于原点对称 ,如果对任 一 x ∈ D,恒有 f(- x) = f(x) (f(- x) = -f(x) ) ,则称 f(x) 为偶函数(奇函数) . 偶函数的图形关于 y 轴对称 ,奇函数的图形关于坐标原点对称 .

二   基本初等函数及初等函数

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1. 基本初等函数

      幂函数、指数函数、对数函数、三角函数和反三角函数统称为基本初等函数.

2. 初等函数

      由常数和基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的函数复合步 骤 所构成并可用一个式子表示的函数 ,称为初等函数 .

 

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